以前は引越し前後の挨拶は必須と考えられていたようです。
しかし最近は必ずしもそうではなくなっています。特に、単身者の引越しではその傾向が強いです。
挨拶をしない理由としては、防犯上の理由から一人暮らしと知られたくない、生活時間帯が合わなくて挨拶が出来ない、周囲も単身者で引越し時の挨拶はどこもしていない、などが挙げられます。

一方、子供の居るご家族での引越しの場合には、引越し先での挨拶をしておいたほうがよいです。
なぜかというと、こういった世帯では近所の方と接触する機会が多くなるからです。
子供が居ると、不意のトラブル（騒音や水漏れなど）が起きることがどうしても避けられません。実際に起きてしまった場合のことを、相手側の立場、気持ちから考えてみましょう。一度でも顔を合わせて挨拶したことがあるかどうかで相手の心象はかなり変わってくるのではないでしょうか。

ご近所への挨拶をどうしようか決めかねる際には、不動産会社の担当や大家さんに相談をしてみましょう。
今までの経験や周囲の入居者から考えてのアドバイスをしてくれると思います。

大家さん、居れば管理人さん、それと近隣の方にご挨拶します。
「近隣」の範囲ですが、住居形態によって異なります。一般的な範囲はこのようになります。

自分の家から見て、以下の範囲が一般的です。
●両隣の家
●真向かいの家と、その両隣の家
●立地によりますが、裏にも家があれば真裏とその両隣の家

自分の家をぐるりと取り囲む位置にある家を近隣と考えます。

自分の部屋から見て、以下の範囲が一般的です。
●両隣の部屋
●１階上の自分の部屋の真上にあたる部屋
●１階下の自分の真下にあたる部屋

自分の部屋と壁が接する部屋を近隣と考えます。

「挨拶回りをする範囲」には地域間で違いがあるようですのでご注意ください。
これは不動産会社の担当の方に聞いておいたほうがいいかもしれません。

引越し先が社宅という場合も、少し特殊なケースになります。
集合住宅内の全室が社宅の場合では、全室に挨拶をしに回るようなところもあります。
世話役の方や既に入居されている方などに、今までの方がどうされてきたかを教えてもらうと良いでしょう。
手土産の用意などもありますし、引越し前には回る件数を把握しておきたいところです。

今ご近所付き合いをしている方には、引越会社に見積もりや発注をするような早めの段階でお伝えするといいかもしれません。
付き合いが無いご近所の方には、「引越しの際にうるさくなりますがすみません」という事を伝えるためにも一週間～数日前くらいにはご挨拶をしておいたほうがよいです。
管理人さんや大家さんにも、当日スムーズに引越を進めるためにもご挨拶と当日の予定をお伝えしておいた方がよいです。
（集合住宅によっては引越で使える時間や設備などに制限があります。この辺りの確認は最後のご挨拶の前ではなく、引越の予定を立てる段階で済ませておきましょう）

出来れば引越日よりも前に来て挨拶しておくと、引越日当日慌てなくて済みます。
引越は大きな荷物を動かしたり人が何度も出入りしたりと何かと騒々しいものですので、挨拶が引越前なら先に引越の予定日とその日に騒がしくしてしまうお詫びも伝えておくことが出来ます。
ですが、引越し前の慌しい時期には難しい話でもあります。
なるべくなら引越し当日、出来れば数日後までにはご挨拶を済ませたいところです。
相手がずっと不在などのやむを得ない事態であれば、とりあえず手紙を郵便受けに入れてご挨拶という方法もあります。

ご挨拶の際に、何かしらの品物をお渡しします。
決して特別なものは必要ではありません。このような感じのものを用意できれば良いでしょう。

●石鹸・洗剤・タオルなどの日用品
●お菓子などの日持ちのする食品
●引越し前の地方の銘菓や名産品（※好き嫌いが分かれそうなものは避ける）

使うか食べるかで、消耗するか無くなるものが無難です。
いずれの場合も予算は高くて1000円程度までというのが目安です。
（大家さん用はもう少し予算を高くしても良いかもしれません）
高価すぎては逆に気を使わせてしまうことにもなります。

ただ、安いもの（特に、値段が普通にわかりそうな日用品）をその辺で買ったまま適当に渡すのも印象や見栄えがよくないので、簡単なラッピングをしたり熨斗（のし）をつけたりするなどのひと手間をかけることをお勧めします。
熨斗（のし）を付ける場合は、せっかくなので自分の苗字を書いておくといいでしょう。