●新居のお披露目に招待して、料理などでおもてなしする。
●贈り物を送る。

このような方法が、一般的なお返し方法のようです。
気心の知れた相手で、住居環境が許すようなら、前者が良いかもしれません。
環境的な問題というのは、主に所在地や新居の設備関連です。
例えば、遠方に越してしまった場合はわざわざ来てもらうのも難しいですし、防音性がそれほど無い住居の場合は近所への騒音トラブル的な意味合いもあり、招く側も招かれる側も色々気を使ってしまって楽しめないのではないでしょうか。
これはあくまで一例ですので、他の事も色々気をつけたほうが良いです。
相手に不快な思いをさせてしまっては、お返しどころの話ではなくなってしまいます。

「新居に招待」は住居の数だけバリエーションがありますので、ここ以降では後者の「贈り物」について触れたいと思います。

●予算は、頂いたものの三分の一～半額くらいが目安。

無難な相場は、大体この辺りのようです。
日ごろお世話になっている相手だからと奮発して高級なものをお返しすると、かえって気を使わせてしまったのではないかと相手に心配させてしまうかもしれません。
適度なところを見極めましょう。

●引越し先の名産品
●日用雑貨・消耗品（タオルや食器、石鹸や洗剤など）
●お菓子・食料品（クッキー、食用油やハムなど日持ちするもの）
●カタログギフト

予算と相手の好みや家族構成などを考えて決めましょう。
遠方に越した場合なら名産品は良さそうですが、相手の好みや日持ちの長さを考慮したほうがいいです。
それ以外であれば、日用品や日持ちのするお菓子などがよく選ばれています。
食べるなり使うなりで消費できるようなものが無難です。
なるべく頂いた方の好みや家族構成などに合わせて贈り物を選べると良いですね。

何を送っていいかどうにも見当が付かない場合は、カタログギフトという選択肢もあります。
相手にカタログを送り、その中から選んでもらえる仕組みです。
価格設定も広く、選べる商品の傾向も豊富なので、選択肢としてはかなり役に立ちます。

●引越しから一ヶ月以内までを目安に。

引越前に頂いたからといっても、引越す前に即日お返ししては妙な話になってしまいますし、引越直後は何かと忙しいのでお返しに気を回すことは難しいかと思います。
しかし、遅くなってしまうと気分的に送りづらくなってしまうので、出来ればこのくらいの期間内には済ませるようにしましょう。